Dois números inteiros maiores do que zero são tais que sua soma é igual a 35. Além disso, um deles é k unidades (k inteiro maior do que zero) maior do que o triplo do outro. O número de valores possíveis para k é:
- A)5;
Errada, porque existem mais de 5 valores de k que satisfazem a condição de integralidade e positividade.
- B)6;
Errada, pois ainda faltam dois valores válidos de k além dos que levam a 6.
- C)7;
Errada, já que o conjunto de k possíveis vai além de 7 valores.
- D)8;
Certa, porque os valores possíveis de k são 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 e 31, totalizando 8.
- E)9.
Errada, porque 9 superestima a quantidade de k; o total correto é menor.
Gabarito: D
A ideia aqui é transformar a frase em equação. Se os números são positivos e somam 35, podemos chamar um deles de x e o outro de y, com x + y = 35. A condição extra diz que um deles é k unidades maior do que o triplo do outro, isto é, algo como x = 3y + k ou y = 3x + k. Agora vem o truque elegante: substituindo na soma, temos (3y + k) + y = 35, então 4y + k = 35. Logo, y = (35 - k)/4. Para y ser inteiro positivo, 35 - k precisa ser múltiplo de 4 e maior que zero. Como 35 deixa resto 3 na divisão por 4, k também precisa deixar resto 3 por 4. Os valores positivos possíveis são 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 e 31. São 8 valores no total. Então o gabarito é D. A banca quer que voce perceba que o problema não pede os números, mas quantos k funcionam. Quem sai correndo e testa valores um por um costuma se perder; aqui a álgebra economiza tempo e paciência.