Um retângulo R1 tem seus vértices associados a pares ordenados do plano cartesiano. São dadas as coordenadas de três desses vértices: A(1,1); B(1,3) e C(7,3), em que A e C são opostos. Um novo retângulo R2 é obtido por meio da rotação de 90° de R1, no sentido anti-horário, em relação à origem. Em seguida, um novo retângulo R3 é obtido através da reflexão de R2, em relação ao eixo das ordenadas. A área da região correspondente a R1 ∪ R3, em unidades de área, é igual a
- A)4.
Errada, porque 4 é apenas a área da região de interseção entre os dois retângulos, não da união.
- B)12.
Errada, pois 12 é a área de apenas um dos retângulos, e a união inclui também a parte exclusiva do outro.
- C)16.
Errada, porque 16 não corresponde nem à soma correta nem à subtração adequada da região comum.
- D)20.
Certa, pois a união vale 12 + 12 - 4 = 20.
- E)24.
Errada, porque 24 seria a soma sem descontar a sobreposição, o que conta a parte comum duas vezes.
Gabarito: D
Para resolver, o truque é transformar a figura em coordenadas. Em R1, como A(1,1) e C(7,3) são vértices opostos, o retângulo tem lados paralelos aos eixos: vai de x = 1 a x = 7 e de y = 1 a y = 3. Então sua área é 6 vezes 2, isto é, 12. Agora vem a parte geométrica que a FGV gosta de vestir de malabarismo. Ao girar 90° no sentido anti-horário em torno da origem, cada ponto (x,y) vira (-y,x). Depois, a reflexão no eixo y troca o sinal do x. Fazendo isso no retângulo inteiro, R3 fica com vértices em (1,1), (3,1), (3,7) e (1,7). Ou seja: outro retângulo de área 12. O detalhe importante é que os dois retângulos se sobrepõem numa região comum de 2 por 2, de x = 1 a 3 e de y = 1 a 3. Essa área de interseção vale 4. Então, pela regra da união, somamos as áreas e subtraímos a parte repetida: 12 + 12 - 4 = 20. Por isso, o gabarito é a alternativa D. Em linguagem de prova, isso é só a boa e velha fórmula da inclusão-exclusão aplicada a áreas: área da união = soma das áreas - interseção.