Em um quadrado ABCD os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente. A fração que a área do triângulo AMN representa da área do quadrado ABCD é igual a
- A)1/2.
Errada: 1/2 seria metade do quadrado, mas o triângulo AMN fica menor que isso.
- B)1/3.
Errada: 1/3 não bate com o cálculo geométrico da área do triângulo formado pelos pontos médios.
- C)2/5.
Errada: 2/5 é um valor próximo, mas não corresponde à razão exata entre as áreas.
- D)3/5.
Errada: 3/5 é maior do que a área do triângulo em relação ao quadrado, então não serve.
- E)3/8.
Certa: a área do triângulo AMN é 3/8 da área do quadrado ABCD.
Gabarito: E
Aqui a ideia é bem clássica de geometria plana: quando você precisa comparar áreas, escolher coordenadas costuma ser o caminho mais rápido e mais seguro. Considere o quadrado de lado 1, com A = (0,0), B = (1,0), C = (1,1) e D = (0,1). Como M é ponto médio de BC, temos M = (1, 1/2); como N é ponto médio de CD, temos N = (1/2, 1). Agora calculamos a área do triângulo AMN. Como A está na origem, a área fica metade do valor absoluto do determinante formado pelos vetores AM e AN: area = 1/2 |1 * 1 - (1/2) * (1/2)| = 1/2 * (3/4) = 3/8. Como o lado do quadrado foi tomado como 1, a área do quadrado é 1. Então a fração pedida é exatamente 3/8. Ou seja, o triângulo ocupa menos da metade do quadrado, mas não é pouquinho: ele “encosta” bem nos lados graças aos pontos médios. Resumo mental para prova: lado 1, pontos médios, coordenadas simples e determinante. Resultado final: 3/8, que corresponde à alternativa E.