O valor numérico da expressão algébrica x 3 − x 2 − 2x + 2 / x− 1 é igual ao valor numérico de
- A)x 2 + 2, para todo x real.
Errada, porque a simplificação correta não dá x^2 + 2 e ainda ignora a restrição x ≠ 1.
- B)x 2 − 2, para todo x real.
Errada, porque o sinal do termo constante ficou incorreto; ao fatorar, o resultado não é x^2 - 2 com validade para todo x real.
- C)x 2 + 2, para todo x real diferente de 1.
Errada, porque apesar de trazer x^2 + 2, essa expressão não corresponde à simplificação do numerador e ainda mantém um sinal errado.
- D)x 2 − 2, para todo x real diferente de 1.
Certa, pois o numerador fatora como (x - 1)(x^2 - 2), cancelando com o denominador para x ≠ 1.
- E)x 2 + 2, para todo x real diferente de 1 e de −1.
Errada, porque a forma simplificada não é x^2 + 2 e a exclusão de x = -1 não tem motivo aqui.
Gabarito: D
A ideia aqui é fazer a divisão algébrica ou fatorar o numerador. Quando voce olha para x^3 - x^2 - 2x + 2, percebe que ele tem uma raiz em x = 1, porque 1 - 1 - 2 + 2 = 0. Isso sugere que o numerador é divisível por (x - 1), o que faz todo sentido, já que esse é exatamente o fator do denominador. Fatorando por agrupamento: x^3 - x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x^2 - 2). Assim, a fração vira (x - 1)(x^2 - 2)/(x - 1), e o fator (x - 1) cancela, desde que x seja diferente de 1. Em matemática, não dá para cancelar o que zera no denominador e depois fingir que nada aconteceu, né? Então a expressão é igual a x^2 - 2 para todo x real diferente de 1. O cuidado com o domínio é essencial: em x = 1, a expressão original não existe, então qualquer alternativa que diga "para todo x real" já cai por terra. Esse tipo de questão explora bem a simplificação de frações algébricas, que só pode ser feita mantendo as restrições do denominador. O gabarito D está correto porque mostra exatamente a forma simplificada e respeita a condição x ≠ 1.