Assinale a opção que apresenta a melhor aproximação para a área delimitada pelas retas y = 0,x = π/2 e pelo gráfico da função f (x) = x .cos(x).
- A)0,60.
0,60 está acima do valor correto, que é aproximadamente 0,5708, então não é a melhor aproximação.
- B)0,57.
Correta, porque a área é ∫_0^{π/2} x cos(x) dx = π/2 - 1 ≈ 0,57.
- C)0,54.
0,54 fica abaixo da aproximação correta, então não representa bem a área calculada.
- D)0,52.
0,52 também subestima a área real, que é um pouco maior que 0,57.
- E)0,50.
0,50 está ainda mais distante do valor obtido pela integral, então não é a melhor aproximação.
Gabarito: B
Quando a questão fala em área delimitada pelo gráfico e pelas retas y = 0 e x = π/2, voce deve pensar em integral definida. Aqui, a curva é f(x) = x cos(x) no intervalo de 0 até π/2. Nesse trecho, a função fica acima do eixo x, então a área é simplesmente a integral de x cos(x) nesse intervalo, sem precisar de valor absoluto nem de malabarismo extra. O cálculo sai por integração por partes: ∫ x cos(x) dx = x sen(x) + cos(x). Agora é só avaliar de 0 a π/2. No limite superior, fica (π/2)·1 + 0 = π/2. No limite inferior, fica 0 + 1 = 1. Portanto, a área é π/2 - 1. Fazendo a aproximação numérica, π/2 ≈ 1,5708. Então 1,5708 - 1 = 0,5708. Ou seja, a melhor aproximação é 0,57. É por isso que o gabarito é a letra B. Em provas da FGV, vale sempre olhar com cuidado os limites e o sinal da função. Se o gráfico já está acima do eixo x, a área geométrica coincide com a integral. Aqui, a conta é curta, elegante e perigosa justamente por isso: parece simples, mas quem erra o cálculo ou a aproximação cai fora.