A parábola é o conjunto dos pontos do plano cartesiano que equidistam de um ponto F (foco) e de uma reta r (diretriz). A equação dos pontos (x,y), cujo foco F é o ponto (0,1) e a diretriz r é a reta y=0, é dada por
- A)2y = x² +1
Correta, pois ao igualar a distância ao foco e à diretriz e simplificar, obtém-se 2y = x^2 + 1.
- B)3y = 2x²+x+2
Errada, porque não corresponde à equação obtida pela definição de parábola com esse foco e essa diretriz.
- C)4y=x²+4
Errada, embora tenha formato de parábola, a constante e o coeficiente não batem com os dados do foco e da diretriz.
- D)y=x²+2x-1
Errada, pois essa equação representa uma parábola deslocada lateralmente, o que não ocorre aqui.
- E)y = 2x²+2x-2
Errada, porque o termo linear em x indica uma translação horizontal que não existe neste caso.
Gabarito: A
A ideia da parábola é simples: cada ponto dela fica à mesma distância do foco e da diretriz. Aqui, o foco é F = (0,1) e a diretriz é a reta y = 0, então estamos diante de uma parábola com eixo vertical e abertura para cima, porque o foco está acima da diretriz. Pegue um ponto genérico (x,y) da parábola. A distância até o foco é dada por raiz de [x^2 + (y - 1)^2], e a distância até a reta y = 0 é |y|. Como a parábola fica acima da diretriz, podemos trabalhar com y positivo e igualar as distâncias: raiz de [x^2 + (y - 1)^2] = y. Agora é só elevar ao quadrado: x^2 + (y - 1)^2 = y^2. Desenvolvendo, x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2. Cancelando y^2 dos dois lados, sobra x^2 - 2y + 1 = 0, isto é, 2y = x^2 + 1. Por isso, o gabarito é a alternativa A. Se você lembrar da forma padrão da parábola vertical, (x - h)^2 = 4p(y - k), também chega ao mesmo resultado: o vértice é o ponto médio entre foco e diretriz, isto é, (0, 1/2), e a equação fica coerente com essa abertura para cima.