As coordenadas dos pontos médios dos lados de um retângulo são (−1, 1), (2, 3), (2,−1), (5, 1). A área desse retângulo é
- A)6.
Errada: 6 é apenas metade da área do losango formado pelos pontos médios, não do retângulo original.
- B)12.
Errada: 12 é a área da figura formada pelos pontos médios, mas o retângulo tem o dobro disso.
- C)24.
Certa: a área do losango dos pontos médios é 12, e a área do retângulo vale o dobro, isto é, 24.
- D)36.
Errada: 36 não corresponde nem à área do losango nem à relação correta de dobro entre as áreas.
- E)48.
Errada: 48 seria o dobro de 24, então extrapola a relação geométrica usada no problema.
Gabarito: C
Quando voce liga os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero, aparece um paralelogramo, e no caso de um retângulo esse desenho fica bem comportado: os pontos médios formam um losango. Aqui, os quatro pontos são (-1, 1), (2, 3), (5, 1) e (2, -1), que ficam simetricamente em torno de (2, 1). As diagonais desse losango medem 6, na horizontal, e 4, na vertical, então sua área é (6 x 4) / 2 = 12. Agora entra a ideia-chave: o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados tem área igual à metade da área do quadrilátero original. Isso é um resultado clássico de geometria plana, conhecido como teorema de Varignon. Como os pontos dados são os pontos médios dos lados do retângulo, a área do retângulo é o dobro da área desse losango. Logo, área do retângulo = 2 x 12 = 24. Portanto, o gabarito correto é a letra C. É uma questão bem típica de banca: primeiro você enxerga a figura, depois usa uma relação de área para não sofrer à toa com contas desnecessárias.