Sabe-se que o polinômio P(x) = x3 − 4x2 + mx − 2 é divisível por D(x) = x2 + x + n, em que m e n são constantes reais. O valor de m + n é:
- A)1/5.
Errada, porque o valor de m + n não é positivo e não bate com a comparação dos coeficientes.
- B)−2/5.
Errada, pois o resultado final da soma m + n não fica nesse valor após impor resto zero na divisibilidade.
- C)19/5.
Errada, já que essa soma surge de uma comparação incorreta dos termos do produto.
- D)−21/5.
Certa, porque a divisão exata leva a n = 2/5 e m = -23/5, então m + n = -21/5.
Gabarito: D
Quando um polinômio é divisível por outro, a ideia é simples: a divisão tem resto zero. Então você pode escrever o polinômio maior como o produto do divisor pelo quociente, sem sobrar nada. Aqui, como P(x) tem grau 3 e D(x) tem grau 2, o quociente precisa ter grau 1, isto é, a forma mais natural é x + k. Vamos montar: P(x) = (x^2 + x + n)(x + k). Agora é só multiplicar e comparar os coeficientes com x^3 - 4x^2 + mx - 2. Fazendo a conta, o termo em x^2 fica k + 1. Como ele deve ser -4, temos k = -5. Com k = -5, o produto vira (x^2 + x + n)(x - 5) = x^3 - 4x^2 + (n - 5)x - 5n. Comparando com P(x), obtemos m = n - 5 e também -5n = -2, então n = 2/5 e m = -23/5. Logo, m + n = -23/5 + 2/5 = -21/5. Portanto, o gabarito é a alternativa D. A técnica aqui é clássica de concurso: divisibilidade de polinômios quase sempre pede comparação de coeficientes ou o uso de resto zero, sem mistério e sem drama.