Chama-se distância do taxista entre dois pontos do plano cartesiano, (x1, y1) e (x2 y2), ao número real não negativo dado por lx₁ - x₂l + ly₁ - y₂l O número de pontos do plano cartesiano, com coordenadas inteiras, cuja distância do taxista a origem do sistema de coordenadas é igual a 10 é
- A)30.
Errada, porque 30 não corresponde à contagem dos pontos inteiros que satisfazem |x| + |y| = 10.
- B)32.
Errada, pois a contagem correta é maior do que 32 para a distância do taxista igual a 10.
- C)36.
Errada, porque 36 ainda não é o total de soluções inteiras da equação |x| + |y| = 10.
- D)38.
Errada, já que 38 não fecha com a regra de contagem dos pontos em distância Manhattan.
- E)40.
Certa, porque o número de pontos inteiros com |x| + |y| = 10 é 4 × 10 = 40.
Gabarito: E
A chamada distância do taxista, ou distância Manhattan, não mede o caminho em linha reta. Ela soma os deslocamentos horizontal e vertical: |x1 - x2| + |y1 - y2|. Neste caso, a origem é (0,0), então queremos os pontos de coordenadas inteiras que satisfazem |x| + |y| = 10. Pense assim: se você andasse numa cidade em quadras, não cortaria diagonalmente o quarteirão. Então, para ficar a distância do taxista 10 da origem, os pontos devem ter soma dos valores absolutos igual a 10. Por exemplo, (3,7), (-3,7), (3,-7) e (-3,-7) funcionam, porque 3 + 7 = 10. Agora vem a contagem esperta. Para cada valor inteiro de x de 0 até 10, sobra y = 10 - |x|. Quando x e y são ambos não nulos, há 4 combinações de sinais. Nos casos em que um deles é zero, a contagem muda um pouco, mas o total final continua seguindo o padrão conhecido: para n > 0, o número de pontos inteiros com |x| + |y| = n é 4n. Logo, para n = 10, temos 4 × 10 = 40 pontos. Portanto, o gabarito é a letra E. Aqui não há pegadinha de geometria clássica com circunferência euclidiana: a fórmula é da métrica do taxista, e é ela que manda no jogo.