Sobre 3 conjuntos A, B e C, sabe-se que: A tem 16 elementos; B tem 24 elementos; C tem 18 elementos; A ∩ B tem 5 elementos; B ∩ C tem 7 elementos; A ∩ B ∩ C tem 3 elementos; A - (B ∪ C) tem 8 elementos. O número de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C é igual a
- A)35.
Errada, porque o total da união fica maior do que 35 quando você considera corretamente as interseções entre os três conjuntos.
- B)43.
Certa, pois pela inclusão-exclusão e pelo dado de A - (B ∪ C), o número de elementos em A ∪ B ∪ C é 43.
- C)47.
Errada, pois esse valor ainda subestima a união e ignora parte dos elementos que aparecem nas interseções.
- D)48.
Errada, porque 48 seria um resultado compatível com uma contagem que não desconta corretamente as sobreposições.
- E)58.
Errada, pois 58 é alto demais e indica que houve dupla contagem dos elementos comuns aos conjuntos.
Gabarito: B
Quando aparece união de conjuntos, o segredo é não contar a mesma pessoa duas vezes. A fórmula clássica aqui é a do princípio da inclusão-exclusão: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |B ∩ C| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. O enunciado não dá diretamente |A ∩ C|, então a gente tira essa informação usando o dado A - (B ∪ C) = 8. Isso significa que 8 elementos estão só em A, sem estar em B nem em C. Como A tem 16 elementos, sobram 8 elementos de A que estão em interseções. Agora, como |A ∩ B| = 5 e |A ∩ B ∩ C| = 3, então há 2 elementos em A ∩ B apenas. E como os 8 elementos restantes de A se dividem entre A ∩ B apenas, A ∩ C apenas e A ∩ B ∩ C, temos: 2 + (A ∩ C apenas) + 3 = 8, logo A ∩ C apenas = 3, então |A ∩ C| = 3 + 3 = 6. Aplicando a fórmula: 16 + 24 + 18 - 5 - 7 - 6 + 3 = 43. Portanto, o gabarito é a letra B. É aquele clássico da FGV: ela monta os dados para você organizar o diagrama de Venn com calma e só depois fazer a conta final.