É dada uma fração com numerador e denominador inteiros positivos. A diferença entre o denominador e o numerador dessa fração é 5. Somando-se 17 unidades ao numerador e 2 unidades ao denominador da fração dada obtém-se uma nova fração que é a inversa da anterior. A soma entre o numerador e o denominador da fração inicial é
- A)16.
Errada, porque a soma 16 não satisfaz as relações do enunciado quando você monta a equação da fração e sua inversa.
- B)17.
Errada, pois a condição de que a nova fração é a inversa da anterior leva a uma soma diferente.
- C)18.
Errada, já que o sistema formado pela diferença 5 e pela inversão das frações não resulta em 18.
- D)19.
Certa, porque a substituição e a multiplicação cruzada levam a numerador 7 e denominador 12, cuja soma é 19.
Gabarito: D
Quando uma fração vira a sua inversa, isso significa que houve uma troca entre numerador e denominador. Aqui, a ideia é montar uma equação com base nessa relação e usar a informação extra de que o denominador é 5 unidades maior que o numerador. Em concurso, esse tipo de questão costuma ser resolvido com uma substituição simples, sem mistério: você chama o numerador de x e o denominador de x + 5. Então, a fração inicial fica x/(x + 5). Depois de somar 17 ao numerador e 2 ao denominador, a nova fração passa a ser (x + 17)/(x + 7). Como o enunciado diz que ela é a inversa da anterior, temos (x + 17)/(x + 7) = (x + 5)/x. Fazendo a multiplicação cruzada, você obtém x(x + 17) = (x + 5)(x + 7). Desenvolvendo: x^2 + 17x = x^2 + 12x + 35. Os quadrados se cancelam e sobra 5x = 35, então x = 7. Logo, o denominador é 12, e a soma pedida é 7 + 12 = 19. Ou seja, o gabarito é a alternativa D. O truque aqui é perceber a condição de inversa e transformar tudo em equação, que é o caminho mais seguro em problemas de frações.