Uma lista com 2023 números inteiros positivos tem moda única que ocorre exatamente 23 vezes. A quantidade mínima de números inteiros diferentes nessa lista é:
- A)90;
Errada, porque 90 valores diferentes além da moda não comportam os 2000 restantes, já que 90 x 22 = 1980 e ainda faltariam 20 posições.
- B)91;
Errada, pois 91 seria a quantidade de valores diferentes dos demais, mas ainda faltaria somar o número da moda única.
- C)92;
Certa, porque a moda conta como um valor diferente e os outros 2000 termos exigem 91 valores adicionais, totalizando 92.
- D)93;
Errada, pois 93 já excede o mínimo necessário: com 91 valores diferentes além da moda a lista já fica completa.
- E)94.
Errada, porque 94 só aumentaria desnecessariamente a quantidade de valores distintos; o mínimo é 92.
Gabarito: C
A ideia aqui é pensar como "apertar" a lista ao máximo, para usar o menor número possível de valores diferentes. Se existe uma moda única que aparece exatamente 23 vezes, então esse valor é o mais frequente da lista. Logo, nenhum outro número pode aparecer 23 vezes ou mais, porque aí a moda deixaria de ser única. Cada outro valor pode aparecer, no máximo, 22 vezes. Agora vem a parte de contagem: sobram 2023 - 23 = 2000 posições para os demais números. Para diminuir a quantidade de números diferentes, voce quer que cada valor diferente ocupe o máximo permitido, isto é, 22 vezes. Então calculamos 2000 / 22. Como 22 x 90 = 1980, ainda sobram 20 posições, que exigem mais um valor diferente. Portanto, são necessários 91 valores diferentes além da moda. Somando a própria moda, a lista precisa ter 91 + 1 = 92 números inteiros diferentes. É por isso que o gabarito é a alternativa C. A lógica é pura estratégia de contagem, sem truque escondido: quando a frequência máxima é fixa, o menor número de distintos vem de preencher os outros blocos no limite permitido.