Seja ABCDEF um hexágono regular convexo de lados medindo 2 cm, com os vértices A e D; B e E; C e F sendo pares opostos. Seja ainda M o ponto médio do lado DE. A medida do segmento AM, em centímetros, é a raiz quadrada de
- A)3.
Errada, porque o cálculo exato de AM resulta em \(\sqrt{13}\), não \(\sqrt{3}\).
- B)7.
Errada, pois \(7\) não é o valor da raiz pedida e vem de uma leitura incorreta da distância.
- C)13.
Certa, porque a distância entre A e o ponto médio de DE tem quadrado igual a 13, então AM = \(\sqrt{13}\).
- D)15.
Errada, já que \(\sqrt{15}\) não corresponde ao valor obtido pela fórmula da distância.
- E)21.
Errada, porque 21 não aparece no cálculo do segmento AM e é incompatível com a configuração geométrica.
Gabarito: C
Num hexágono regular, a ideia mais útil é lembrar que ele pode ser visto como 6 triângulos equiláteros de lado igual ao lado do hexágono. Aqui, como o lado mede 2, dá para posicionar os vértices num plano cartesiano e fazer a conta sem drama. Isso costuma ser o caminho mais seguro em prova da FGV quando a figura parece “bonita demais” para ser resolvida no olho. Coloque o centro do hexágono na origem. Então os vértices podem ser, por exemplo, A = (2,0), B = (1,\sqrt{3}), C = (-1,\sqrt{3}), D = (-2,0), E = (-1,-\sqrt{3}) e F = (1,-\sqrt{3}). Como M é o ponto médio de DE, temos M = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right). Agora é só calcular AM pela fórmula da distância. Fazendo as contas, AM² = \left(2 + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = \frac{49}{4} + \frac{3}{4} = \frac{52}{4} = 13. Logo, AM = \sqrt{13}. Portanto, a raiz pedida é 13, que corresponde à alternativa C. Em resumo: a geometria do hexágono dá a estrutura, e a coordenada entrega o resultado sem adivinhação.