Seja C uma circunferência, seja q um quadrado inscrito em C e seja Q um quadrado circunscrito a C. A razão entre a área de Q e a área de q é igual a:
- A)4;
Errada, porque 4 seria uma razão exagerada para essas duas configurações clássicas de quadrados e circunferência.
- B)4/3;
Errada, pois 4/3 não corresponde às relações entre diagonal, lado e diâmetro usadas no problema.
- C)3;
Errada, porque a razão entre as áreas não é 3; ao calcular corretamente, aparece o fator 2.
- D)5/4;
Errada, já que 5/4 é um valor que pode parecer plausível, mas não surge das fórmulas de área do quadrado inscrito e do circunscrito.
- E)2.
Certa, porque a área do quadrado circunscrito é o dobro da área do quadrado inscrito.
Gabarito: E
Aqui a ideia é usar duas relações clássicas do quadrado com a circunferência. Se o quadrado q está inscrito em C, então a diagonal de q é o diâmetro da circunferência. Já no quadrado Q circunscrito a C, o lado de Q é exatamente o diâmetro da circunferência, porque a circunferência fica tangente aos quatro lados. Se o diâmetro da circunferência for d, então a área de Q vale d². Para o quadrado inscrito q, como a diagonal é d, o lado é d/√2, e sua área fica (d/√2)² = d²/2. Agora a conta fica elegante: área de Q dividida pela área de q = d² / (d²/2) = 2. Ou seja, a área do quadrado circunscrito é o dobro da área do quadrado inscrito. Matemática gosta desse tipo de simetria, sem drama. Portanto, o gabarito é E. A justificativa é puramente geométrica e algébrica: no quadrado inscrito a diagonal vira diâmetro, e no circunscrito o lado vira diâmetro da circunferência.