As raízes da equação x2 − 9x + c = 0 são números inteiros. O maior valor que c pode assumir é
- A)14.
Errada, porque 14 não é o maior produto possível entre dois inteiros cuja soma é 9.
- B)18.
Errada, pois 18 ainda fica abaixo do maior produto obtido com raízes inteiras que somam 9.
- C)20.
Certa, porque as raízes inteiras 4 e 5 somam 9 e produzem c = 20, o maior valor possível.
- D)24.
Errada, porque 24 ultrapassaria o máximo possível para dois inteiros com soma fixa 9.
Gabarito: C
Quando uma equação do 2º grau tem raízes inteiras, você pode chamar essas raízes de r e s e usar as relações de Viète: r + s = 9 e r·s = c. Aqui, o valor de c é justamente o produto das raízes, então a pergunta vira: com dois inteiros que somam 9, qual produto pode ser maior? Se você pensa em números próximos, já pega a ideia do máximo: 4 e 5 somam 9 e dão 20. Tentar outros pares inteiros como 3 e 6, 2 e 7 ou 1 e 8 só diminui o produto. Isso acontece porque, para uma soma fixa, o produto é maior quando os números ficam o mais equilibrados possível. Então, como as raízes devem ser inteiras, a melhor dupla é 4 e 5. Logo, c = 4·5 = 20. É por isso que o gabarito é a alternativa C. A lógica é pura álgebra básica, sem truque: relação entre coeficientes e raízes (Viète) e otimização simples entre inteiros. A banca gosta exatamente desse tipo de conta curta, mas que exige perceber o padrão com calma.