Seja P um poliedro convexo com faces exclusivamente triangulares, quadriláteras, pentagonais e hexagonais. As quantidades de faces de cada um dos quatro tipos são as mesmas. O número de vértices de P está entre 8 e 15. É correto afirmar que P tem
- A)10 vértices.
Errada, porque o número de vértices calculado pela fórmula de Euler é 12, não 10.
- B)10 faces.
Errada, pois o total de faces é 4x e, com x = 2, isso dá 8 faces, não 10.
- C)12 faces.
Errada, porque o total de faces é 8, e não 12.
- D)12 arestas.
Errada, já que o número de arestas é 18, não 12.
- E)18 arestas.
Certa, porque a contagem das faces leva a E = 9x e, com x = 2, resulta em 18 arestas.
Gabarito: E
Quando um poliedro convexo tem faces de vários tipos, o truque é contar arestas de duas formas. Aqui, as quantidades de faces triangulares, quadriláteras, pentagonais e hexagonais são iguais. Se cada tipo aparece x vezes, então o total de faces é 4x. Agora vem a parte esperta: somando os lados de todas as faces, você conta cada aresta duas vezes, porque toda aresta pertence a exatamente duas faces. Então temos 3x + 4x + 5x + 6x = 18x, logo o número de arestas é 18x/2 = 9x. Pela fórmula de Euler para poliedros convexos, V - E + F = 2. Substituindo, fica V - 9x + 4x = 2, ou seja, V = 5x + 2. Como o enunciado diz que o número de vértices está entre 8 e 15, a única possibilidade inteira é x = 2, daí V = 12. Com x = 2, o número de arestas é E = 9x = 18. Portanto, o gabarito correto é a alternativa E. A fórmula de Euler é o velho clássico dessa área: se você sabe contar faces e arestas direito, o resto se encaixa quase como mágica.