Em certo reino distante, a moeda nacional é o irreal. Há apenas notas de 5 e de 6 irreais. Em visita ao reino, dr. Blanc levou uma bolsa com 500 notas de 5 irreais e 500 notas de 6 irreais. Ele comprou por 1.214 irreais uma escultura local e pagou essa quantia usando o maior número de notas possível. O total de notas usadas pelo dr. Blanc foi de:
- A)238;
Errada, porque 238 notas não é o máximo possível compatível com 1.214 irreais.
- B)239;
Errada, porque ainda existe uma combinação com mais notas que essa.
- C)240;
Errada, porque o total de notas pode ser maior do que 240 sem violar a soma.
- D)241;
Errada, porque a melhor combinação ainda permite aumentar em 1 o número total de notas.
- E)242.
Certa, pois a combinação com 238 notas de 5 e 4 notas de 6 soma 1.214 e usa o maior total possível de notas.
Gabarito: E
Esse tipo de questão adora brincar com duas ideias ao mesmo tempo: soma e resto da divisão. Como as notas são de 5 e de 6, se você quer usar o maior número possível de notas, faz sentido tentar trocar notas de 6 por notas de 5, porque a nota de 5 “rende” mais unidades de quantidade de notas para o mesmo valor total. Vamos chamar de x o número de notas de 5 e de y o número de notas de 6. Então temos 5x + 6y = 1214. O total de notas é x + y, e queremos maximizar esse total. Repare que 5x + 6y = 5(x+y) + y, ou seja, 1214 = 5n + y, onde n é o número total de notas. Para n ser o maior possível, y deve ser o menor possível. Agora vem o truque de congruência: 1214 dividido por 5 deixa resto 4, então y precisa ser 4 mod 5. O menor valor possível é y = 4. Substituindo: x = (1214 - 6·4)/5 = (1214 - 24)/5 = 238. Logo, o total é 238 + 4 = 242 notas. Portanto, o gabarito é E. A solução fica elegante e curta: usar o menor número possível de notas de 6, compatível com a divisibilidade por 5, para maximizar a quantidade total de notas.