Sejam H um hexágono regular, C a circunferência circunscrita a H e c a circunferência circunscrita em H. A razão entre a área de C e a área de c é igual a:
- A)4;
Errada, porque a razão das áreas não é 4; isso ignora que o raio da circunferência inscrita não é igual ao raio da circunferência circunscrita.
- B)4/3;
Certa, pois no hexágono regular o raio da circunferência circunscrita é o lado e o raio da inscrita é s√3/2, o que leva à razão 4/3.
- C)3;
Errada, porque 3 não resulta da divisão entre as áreas das duas circunferências ao usar os raios corretos.
- D)5/4;
Errada, pois 5/4 não corresponde à relação geométrica entre os raios do hexágono regular.
- E)2.
Errada, porque 2 seria uma razão sem base nas fórmulas do hexágono regular e das áreas dos círculos.
Gabarito: B
Quando você vê um hexágono regular, vale lembrar de duas medidas clássicas: o raio da circunferência circunscrita e o raio da circunferência inscrita. No hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado do hexágono. Já o raio da circunferência inscrita é a apótema, que vale lado vezes raiz de 3 sobre 2. A área de uma circunferência é pi vezes raio ao quadrado, então a razão entre as áreas depende só da razão entre os raios ao quadrado. Se chamarmos o lado de s, temos R = s e r = s√3/2. Logo, a razão entre as áreas de C e c é R²/r² = s² / (s²·3/4) = 4/3. É uma conta curta, mas cheia de armadilha para quem lembra só que existe hexágono regular e sai chutando uma potência qualquer. Portanto, o gabarito é a alternativa B. O ponto principal aqui é reconhecer as relações geométricas do hexágono regular, que são clássicas em geometria plana e aparecem muito em provas da FGV.