Sabe-se que a taxa de acerto em chutes de fora da área de uma certa distância é de 50%. Uma amostra de 100 chutes de fora da área da mesma distância do gol é observada. A probabilidade de observar entre 35 e 65 chutes certos é, aproximadamente:
- A)menor que 95%;
Errada, porque 35 a 65 acertos corresponde a um intervalo muito amplo em torno da media e, portanto, a probabilidade nao e menor que 95%.
- B)igual a 99,7%;
Certa, pois 35 a 65 estao a 3 desvios-padrao da media da binomial, e pela regra empirica isso da aproximadamente 99,7%.
- C)menor que 0,1%;
Errada, porque uma faixa de 3 desvios-padrao em cada lado da media tem probabilidade alta, nao algo praticamente nulo.
- D)igual a 95%;
Errada, porque 95% corresponde aproximadamente a 2 desvios-padrao da media, nao a 3.
- E)menor que 0,3%.
Errada, pois 0,3% e justamente a sobra fora do intervalo de 3 desvios-padrao, nao a probabilidade de estar dentro dele.
Gabarito: B
Quando voce tem um numero grande de repeticoes iguais, com sucesso/fracasso e probabilidade constante, o modelo natural e a distribuicao binomial. Aqui, sao 100 chutes, com taxa de acerto de 50%, entao podemos pensar em X ~ Bin(100, 0,5). A media e np = 50, e o desvio-padrao e sqrt(np(1-p)) = sqrt(25) = 5. A pergunta quer a probabilidade de cair entre 35 e 65 acertos. Repare que isso fica a 15 pontos da media, isto e, 3 desvios-padrao para cada lado (50 - 35 = 15 e 65 - 50 = 15). Em uma aproximacao normal, o famoso criterio empirico diz que cerca de 99,7% dos valores ficam entre -3 e +3 desvios-padrao da media. Por isso, a probabilidade pedida e aproximadamente 99,7%. Em linguagem de prova, a ideia e: binomial com n alto, aproximacao normal, intervalo simetrico de 3 sigmas, resultado classico. A banca adora essa troca entre binomial e a regra dos 68%-95%-99,7%. Logo, o gabarito B esta correto.