Sejam x e y números tais que 6y − x = 18. O número de valores inteiros de x, maiores do que zero e menores do que 2024, para os quais os valores correspondentes de y também são inteiros é:
- A)331;
Errada, porque 331 contaria menos múltiplos de 6 do que realmente existem entre 1 e 2023.
- B)333;
Errada, pois 333 ainda subestima a quantidade de valores de x que são múltiplos de 6 no intervalo dado.
- C)335;
Errada, já que 335 não corresponde ao total correto de múltiplos de 6 menores que 2024.
- D)337;
Certa, porque os múltiplos positivos de 6 abaixo de 2024 vão de 6 até 2022, totalizando 337.
- E)339.
Errada, pois 339 ultrapassa a contagem real dos múltiplos de 6 no intervalo pedido.
Gabarito: D
A ideia aqui é bem direta: a equação 6y - x = 18 pode ser reescrita como x = 6y - 18. Isso mostra que, para y inteiro, o valor de x precisa ser múltiplo de 6. Em outras palavras, não basta x ser inteiro: ele tem de “andar de 6 em 6”, senão y não sai inteiro. Então vamos contar os múltiplos de 6 maiores que zero e menores que 2024. Eles são 6, 12, 18, ..., 2022. É uma progressão aritmética com primeiro termo 6, último termo 2022 e razão 6. A quantidade de termos é 2022/6 = 337. Como 2022 ainda está abaixo de 2024, ele entra na conta sem cerimônia. Logo, existem 337 valores possíveis para x. Por isso, o gabarito é a letra D. O ponto-chave da questão é perceber a divisibilidade: x precisa ser múltiplo de 6 para que y seja inteiro.