Se todos os 9 termos provenientes do desenvolvimento de (x2/y + y2/x)8 forem escritos na forma Ti = ai . xm . yn expoentes de x decrescendo, em que m e n são, respectivamente, os expoentes inteiros de x e y, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é o indicador da posição de cada termo no desenvolvimento e ai é o respectivo coeficiente, é correto afirmar que m e n serão simultaneamente positivos apenas para i igual a
- A)4, 5 e 6.
Correta, porque os termos com expoentes de x e y simultaneamente positivos aparecem nas posições 4, 5 e 6.
- B)5, 6 e 7.
Errada, porque inclui uma posição que ainda deixa um dos expoentes não positivo e deixa de fora outra que atende à condição.
- C)3, 4 e 5.
Errada, porque a faixa de termos com ambos os expoentes positivos começa uma posição depois e vai além dessa alternativa.
- D)3, 4, 5 e 6.
Errada, porque amplia demais o intervalo e inclui termos em que um dos expoentes já deixa de ser positivo.
- E)4, 5, 6 e 7.
Errada, porque desloca a janela correta para a direita e acaba pegando termos com expoente negativo.
Gabarito: A
Quando você desenvolve uma potência de binômio, a ideia é usar o termo geral. Aqui, em \((x^2/y + y^2/x)^8\), cada termo do desenvolvimento vem de escolher, em cada uma das 8 parcelas, um pedacinho de um dos dois monômios. Isso gera 9 termos no total, porque em potências de 8 sempre aparecem os índices de 0 a 8 na escolha binomial. Se você chamar de \(k\) a quantidade de vezes que escolhe \(y^2/x\), o termo geral fica com expoente de \(x\) igual a \(16-3k\) e de \(y\) igual a \(-8+3k\). A pergunta quer os termos em que os dois expoentes sejam positivos ao mesmo tempo. Então você precisa de \(16-3k>0\) e \(-8+3k>0\). Resolvendo, dá \(k=3,4,5\). Como o enunciado organiza os termos com os expoentes de \(x\) decrescendo, isso corresponde às posições \(i=4,5,6\). Por isso o gabarito é a alternativa A. Na prática, essa questão é só uma combinação de binômio de Newton com análise de sinal dos expoentes. Nada de drama: ache o termo geral, imponha as desigualdades e leia a posição na ordem pedida.