sUm dado cúbico honesto, com as faces numeradas de 1 a 6, é lançado 4 vezes consecutivas. Considere como resultado a sequência dos 4 números sorteados. Assinale a opção que indica o número de resultados possíveis de ocorrer, de tal modo que o produto dos 4 números sorteados não seja divisível por 4.
- A)132.
Errada, porque 132 nao corresponde à contagem correta dos casos em que o produto fica com no máximo um fator 2.
- B)165.
Errada, pois subestima o número de sequências possíveis; faltam casos com exatamente um número 2 ou 6.
- C)231.
Errada, porque ainda nao inclui todas as posições e escolhas dos números pares permitidos.
- D)264.
Errada, pois nao soma corretamente os casos de quatro ímpares e de um único par com os demais ímpares.
- E)297.
Certa, porque o total é 81 sequências com todos os números ímpares mais 216 com exatamente um número 2 ou 6, dando 297.
Gabarito: E
A ideia aqui é olhar para a divisibilidade por 4 sem sofrimento. Um produto será divisível por 4 se ele tiver pelo menos dois fatores 2 na decomposição em primos. Então, para o produto nao ser divisível por 4, a quantidade total de fatores 2 no produto pode ser no máximo 1. Nos resultados de um dado, os números ímpares 1, 3 e 5 nao trazem fator 2 nenhum. Já 2 e 6 trazem exatamente um fator 2. O número 4 traz dois fatores 2, então ele ja faz o produto ficar divisível por 4 imediatamente, sem negociação. Logo, temos dois casos possíveis: ou saem os quatro números ímpares, ou sai exatamente um número par do tipo 2 ou 6 e os outros três sao ímpares. No primeiro caso, sao 3^4 = 81 sequências. No segundo, escolhemos a posição do número par (4 maneiras), escolhemos esse número par (2 maneiras) e preenchemos as outras três posições com ímpares (3^3 maneiras), totalizando 4 x 2 x 27 = 216. Somando: 81 + 216 = 297. Portanto, o gabarito é a alternativa E. Em problemas de divisibilidade, a dica de ouro é contar fatores 2: é quase sempre mais rápido do que testar caso por caso.