Sejam N um número natural tal que √N é um número irracional. Se, entre 0 e √N, houver k divisores naturais de N, pode-se afirmar que a quantidade total de divisores naturais de N é
- A)k 2 + 1
Errada, porque k + 1 sugeriria um divisor central extra, o que só faria sentido em caso de quadrado perfeito.
- B)k 2
Errada, pois dobra de forma incompleta e não reflete o pareamento dos divisores ao redor de √N.
- C)k 2 - 1
Errada, porque subtrair 1 faz sentido apenas quando existe um divisor central na raiz, o que não ocorre aqui.
- D)2k + 1
Errada, pois 2k + 1 incluiria um divisor a mais no centro, típico de número quadrado perfeito.
- E)2k
Certa, porque os k divisores abaixo de √N têm seus k correspondentes acima de √N, somando 2k.
Gabarito: E
Quando você estuda divisores de um número natural, sempre vale a ideia de pareamento: se d divide N, então N/d também divide N. Esses dois divisores formam um par, com um deles menor que a raiz quadrada de N e o outro maior que a raiz quadrada de N. A sacada da questão está em dizer que √N é irracional. Isso significa que N não é quadrado perfeito. E, se N não é quadrado perfeito, não existe divisor exatamente igual a √N para fazer a conta ficar “desbalanceada”. Ou seja, todos os divisores aparecem em pares distintos: um abaixo de √N e outro acima de √N. Então, se entre 0 e √N existem k divisores naturais de N, cada um deles corresponde a um divisor “espelhado” acima de √N. Resultado: há k divisores menores que √N e mais k divisores maiores que √N, totalizando 2k divisores naturais. Esse é o motivo do gabarito E. A lógica é clássica de divisores e raízes: quando o número não é quadrado perfeito, a contagem total de divisores é sempre par, justamente porque não sobra divisor central na raiz.