Sejam A, B e C matrizes quadradas quaisquer de ordem 2 e O a matriz nula de ordem 2. É correto afirmar que
- A)AB + BC = B(A + C).
Errada, porque AB + BC = B(A + C) exigiria que AB = BA, o que nao vale em geral para matrizes.
- B)(A + B)C = BC + AC.
Certa, pois pela distributiva temos (A + B)C = AC + BC, e a soma de matrizes pode ser reordenada como BC + AC.
- C)Se AB = O, então A = O ou B = O.
Errada, porque pode ocorrer AB = O com A e B ambos diferentes de O; matrizes podem ser divisores de zero.
- D)Se A2 = O, então A = O.
Errada, porque pode existir matriz nao nula com A2 = O, chamada matriz nilpotente.
Gabarito: B
Quando voce trabalha com matrizes, a multiplicacao nao se comporta como a multiplicacao de numeros comuns em tudo, mas ela segue regras bem importantes, especialmente a distributiva. Isso significa que voce pode “espalhar” a multiplicacao sobre a soma, desde que a ordem dos fatores seja respeitada. Em outras palavras: multiplicar pela direita ou pela esquerda muda tudo, porque matriz nao e comutativa em geral. Na questao, a expressao (A + B)C pode ser desenvolvida pela distributiva da multiplicacao em relacao a adicao: (A + B)C = AC + BC. Como a adicao de matrizes e comutativa, AC + BC tambem pode ser escrita como BC + AC. Por isso, a alternativa B esta correta. Ja as outras alternativas escorregam justamente na ordem dos fatores. Em matrizes, AB nao e o mesmo que BA na maioria das vezes, entao escrever B(A + C) para AB + BC mistura a ordem sem garantia. E cuidado com conclusoes do tipo “se o produto deu zero, entao um dos fatores e zero”: isso vale para numeros reais, mas nao vale em geral para matrizes. Existem matrizes nao nulas cujo produto e a matriz nula, e tambem existem matrizes nao nulas com quadrado nulo. Entao a ideia central aqui e simples: use a distributiva, mas respeite a ordem. Em algebra matricial, a ordem manda mais que o cafe na véspera da prova.