O triângulo ABC possui lados com as seguintes medidas: AB = 13, AC = 9 e BC = 16. O ponto D do lado BC é tal que os triângulos ADB e ADC possuem mesmo perímetro. A razão entre as áreas dos triângulos ADB e ADC é
- A)0,4.
Errada, porque a razão das áreas não é 0,4; ao usar os perímetros iguais, você encontra BD = 6 e DC = 10, o que leva a 0,6.
- B)0,5.
Errada, pois 0,5 corresponderia a bases em razão 1:2, mas aqui as bases ficam 6 e 10, não 1 e 2.
- C)0,6.
Certa, porque os perímetros iguais levam a BD = 6 e DC = 10, e como os triângulos têm a mesma altura, a razão das áreas é 6/10 = 0,6.
- D)0,8.
Errada, porque 0,8 não bate com a divisão do segmento BC obtida pela igualdade dos perímetros nem com a proporcionalidade das áreas.
Gabarito: C
Quando dois triângulos têm a mesma altura em relação à mesma base reta, a comparação das áreas fica muito simples: a área cresce na mesma proporção da base. Aqui, os triângulos ADB e ADC têm a mesma altura em relação à reta BC, porque os dois partem do ponto A e encostam em pontos do mesmo segmento BC. O truque da questão está na condição de que os perímetros são iguais. Escrevendo isso, temos: AB + AD + BD = AC + AD + DC. Como AB = 13 e AC = 9, o lado AD aparece dos dois lados e cancela, ficando 13 + BD = 9 + DC. Como BC = 16, então BD + DC = 16. Juntando as duas informações: 13 + BD = 9 + (16 - BD). Isso dá BD = 6 e, portanto, DC = 10. Ou seja, o ponto D divide BC em 6 e 10. Agora é só usar a ideia da mesma altura: a razão entre as áreas é a razão entre as bases, então [ADB]/[ADC] = BD/DC = 6/10 = 3/5 = 0,6. Por isso o gabarito é a alternativa C.