Sejam X e Y números inteiros maiores do que 0 (zero) tais que 4X + 3Y = 100. O número de valores que X pode assumir é igual a
- A)8.
Correta, porque os valores possíveis de X são 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 e 22, totalizando 8.
- B)9.
Errada, porque 9 superestima a quantidade de valores inteiros positivos que satisfazem a condição de divisibilidade.
- C)10.
Errada, porque X não pode assumir 10 valores diferentes sem violar a exigência de Y inteiro e positivo.
- D)12.
Errada, porque 12 excede o conjunto de soluções permitidas pela congruência da equação.
- E)16.
Errada, porque 16 seria o número de valores em outro contexto, mas aqui há apenas 8 possibilidades para X.
Gabarito: A
Essa questão mistura uma equação do primeiro grau com restrição de inteiros positivos. A ideia é simples: como X e Y são maiores que zero, você não procura qualquer solução, e sim soluções inteiras e positivas para 4X + 3Y = 100. Em prova, isso costuma virar um teste de atenção com divisibilidade, não de conta pesada. Isolando Y, temos 3Y = 100 - 4X. Para Y ser inteiro, o número 100 - 4X precisa ser múltiplo de 3. Como 100 deixa resto 1 na divisão por 3, precisamos de 4X deixando resto 1 também. Como 4 ≡ 1 (mod 3), isso significa X ≡ 1 (mod 3). Ou seja, X pode ser 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 e 22. Agora é só conferir a positividade de Y: para esses valores, Y = (100 - 4X)/3 também sai positivo, então todos servem. Repare que o maior X possível é 22, porque 25 já daria 4X > 100 e tornaria Y negativo. Logo, são 8 valores possíveis para X. Então o gabarito é a alternativa A. Esse tipo de questão é bem típico de concurso: a banca coloca uma equação simples, mas quer saber se você percebe a condição de inteiro positivo e a ideia de congruência/divisibilidade, que aqui fazem todo o trabalho.