A média aritmética A entre dois números positivos x e y é definida como A=(x+y)/2. A média geométrica G é a raiz quadrada dos dois números, G=√xy. A média harmônica H é tal que sua inversa é a média aritmética das inversas dos dois números, 1/H=(1/x+1/y)/2. Dois números têm média aritmética igual a 15 e média geométrica igual a 12. A média harmônica dos dois números é igual a
- A)32/3.
Errada, porque 32/3 não corresponde ao valor obtido ao aplicar a fórmula da média harmônica com x + y = 30 e xy = 144.
- B)48/5.
Certa, pois H = 2xy/(x + y) = 2·144/30 = 48/5.
- C)29/3.
Errada, porque 29/3 não resulta das médias aritmética e geométrica dadas no enunciado.
- D)51/5.
Errada, já que 51/5 não é o valor da média harmônica calculada a partir de x + y e xy.
- E)25/3.
Errada, pois 25/3 não atende à relação entre média aritmética, geométrica e harmônica usada na questão.
Gabarito: B
Quando o enunciado fala em médias, a ideia é sempre transformar tudo em relações simples entre soma e produto. Aqui, a média aritmética é 15, então (x + y)/2 = 15, logo x + y = 30. Já a média geométrica é 12, então √(xy) = 12, isto é, xy = 144. A média harmônica parece mais misteriosa, mas ela tem uma fórmula bem prática: H = 2xy/(x + y). Isso vem diretamente da definição dada no enunciado, porque 1/H é a média aritmética das inversas. Em prova, vale ouro lembrar dessa fórmula, porque ela economiza tempo e evita contas desnecessárias. Substituindo os valores encontrados: H = 2·144/30 = 288/30 = 48/5. Pronto, acabou o suspense matemático. O gabarito é a alternativa B. Como checagem rápida, observe que a média harmônica costuma ficar menor que a aritmética e maior que a menor das duas, o que faz sentido aqui. Não é uma lei do universo, mas é uma boa bússola para conferir se o resultado não saiu voando pela janela.