Paulo e Moacir frequentam a mesma academia de ginástica, sempre no mesmo horário. Durante duas semanas (14 dias), Paulo esteve 9 vezes na academia e Moacir esteve 8 vezes na academia. Nesse período, o número mínimo de vezes em que Paulo e Moacir estiveram juntos na academia é
- A)0.
Errada, porque 0 coincidências exigiriam 17 dias distintos, mas o período tem apenas 14 dias.
- B)1.
Errada, porque 1 coincidência ainda não absorve o excesso de 3 dias que sobra na soma 9 + 8.
- C)2.
Errada, porque ainda falta 1 dia de sobreposição para acomodar as 17 presenças em só 14 dias.
- D)3.
Certa, pois o mínimo de dias juntos é 9 + 8 - 14 = 3.
- E)4.
Errada, porque 4 é possível em alguns arranjos, mas a questão pede o mínimo, e não um valor qualquer.
Gabarito: D
Esse tipo de questão é de contagem com sobreposição. Pense nas 14 idas à academia como 14 "vagas" no calendário: Paulo ocupa 9 delas e Moacir ocupa 8. Se você quer o menor número possível de coincidências, precisa espalhar os dois ao máximo, mas existe um limite físico: não dá para somar 9 e 8 e fingir que cabem 17 dias diferentes, porque só existem 14 dias no período. A conta-chave é bem direta: o mínimo de encontros em comum é dado por 9 + 8 - 14. Isso funciona porque o excesso sobre os 14 dias obrigatoriamente virou coincidência. Fazendo as contas, 17 - 14 = 3. Então, mesmo que os dois tentem se desencontrar ao máximo, ainda assim precisam se encontrar em pelo menos 3 dias. Por isso o gabarito é a alternativa D. É uma aplicação simples do princípio da inclusão-exclusão, usado justamente para evitar dupla contagem.