Doze cadeiras idênticas foram colocadas lado a lado, formando uma fileira. Apenas duas delas serão ocupadas, uma por Ângela e outra por Beatriz. As demais ficarão desocupadas. O número de formas distintas nas quais elas podem tomar seus assentos, sem ficar em posições vizinhas e sem que haja, entre elas, mais do que 6 cadeiras vazias, é igual a
- A)30.
45 é a contagem dos pares de cadeiras, mas ainda falta considerar que Angela e Beatriz podem trocar de lugar.
- B)45.
60 nao corresponde à contagem correta dos pares nem ao fator de troca entre as duas pessoas.
- C)60.
75 surge de uma contagem incompleta ou misturada, mas nao atende exatamente às restrições do enunciado.
- D)75.
75 é um erro comum de soma ou de organização da contagem, mas nao é o total correto.
- E)90.
90 é o valor correto: ha 45 pares de lugares possiveis e, para cada par, 2 distribuicoes possiveis entre Angela e Beatriz.
Gabarito: E
Aqui o segredo é transformar a frase em uma contagem de posições. Como as cadeiras estão em fila, basta pensar nas posições 1 a 12 e escolher onde Angela e Beatriz vão sentar. Como elas nao podem ficar vizinhas, a distancia entre as cadeiras precisa ser pelo menos 2. E como nao pode haver mais do que 6 cadeiras vazias entre elas, a distancia maxima entre as posicoes é 7. Ou seja, a diferenca entre as cadeiras pode ser 2, 3, 4, 5, 6 ou 7. Agora contamos quantos pares de cadeiras existem para cada diferenca. Se a diferenca é 2, ha 10 pares; se é 3, ha 9; depois 8, 7, 6 e 5. Somando: 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 45. Esse é o número de pares de lugares possiveis. Mas ainda falta um detalhe importante: Angela e Beatriz sao pessoas diferentes. Entao, para cada par de cadeiras, ha 2 maneiras de distribuir quem senta em qual lugar. Isso dobra a contagem: 45 x 2 = 90. Portanto, o gabarito correto é E. Em problemas de Analise Combinatoria, quase sempre o pulo do gato está em separar a escolha dos lugares da permutação das pessoas, para nao esquecer o fator final.