Seja A uma matriz 4 x 4 cujo determinante é igual a 2. O determinante da matriz 3A é igual a:
- A)6;
Errada, pois 6 nao corresponde ao fator 3^4 aplicado ao determinante de uma matriz 4 x 4.
- B)12;
Errada, porque 12 ainda ignora que o escalar 3 aparece quatro vezes no determinante.
- C)24;
Errada, pois 24 nao resulta da propriedade det(kA) = k^n det(A) com n = 4.
- D)64;
Errada, porque 64 nao eh o valor obtido ao multiplicar 2 por 3^4.
- E)162.
Certa, pois det(3A) = 3^4 \cdot det(A) = 81 \cdot 2 = 162.
Gabarito: E
Quando voce multiplica uma matriz por um escalar k, o determinante nao multiplica por k uma unica vez: ele ganha um fator k elevado a n, onde n eh a ordem da matriz. Aqui, A eh 4 x 4, entao det(3A) = 3^4 \cdot det(A). Essa regra vale porque cada uma das 4 linhas (ou colunas) da matriz foi multiplicada por 3. Em linguagem de prova, isso cai direto de uma propriedade fundamental dos determinantes, sem necessidade de conta longa. Substituindo os valores do enunciado, temos det(3A) = 3^4 \cdot 2 = 81 \cdot 2 = 162. Por isso, o gabarito correto eh a alternativa E. E daqueles casos em que a banca quer ver se voce lembra da regra, nao se voce vai tentar "multiplicar tudo por 3" como se determinante fosse receita de bolo.