Um grupo formado por 2 homens e 3 mulheres formará uma fila. Essa fila deverá começar por um homem ou terminar por um homem. O número de filas distintas possíveis é:
- A)36.
Errada, porque 36 não corresponde à contagem correta nem pela união dos casos nem por qualquer ajuste de sobreposição.
- B)48.
Errada, pois 48 conta apenas um dos casos isoladamente, como começar com homem ou terminar com homem, mas não a união pedida.
- C)84.
Certa, pois aplica corretamente a inclusão-exclusão: 48 + 48 - 12 = 84.
- D)96.
Errada, porque 96 seria uma soma sem descontar a interseção ou uma supercontagem dos arranjos.
- E)120.
Errada, pois 120 é o total de filas sem restrição, mas o enunciado impõe condição sobre o primeiro ou o último lugar.
Gabarito: C
Aqui o caminho mais seguro é usar contagem por casos e depois tirar a interseção. Defina A como "a fila começa com um homem" e B como "a fila termina com um homem". O enunciado pede A ou B, isto é, a união dos casos. Se a fila começa com um homem, temos 2 escolhas para o primeiro lugar e, depois, 4 pessoas para organizar nos demais lugares: 2 x 4! = 48. Pelo mesmo raciocínio, se a fila termina com um homem, também dá 2 x 4! = 48. Mas cuidado: as filas que começam e terminam com homem foram contadas duas vezes. Nessa interseção, escolhemos os 2 homens para as extremidades em 2! maneiras e organizamos as 3 mulheres no meio em 3! maneiras, totalizando 2! x 3! = 12. Então, pela fórmula da união, 48 + 48 - 12 = 84. É por isso que o gabarito é a letra C. A ideia é bem clássica de análise combinatória: contar os casos favoráveis sem duplicar o que pertence aos dois ao mesmo tempo.