Considere uma operação entre números inteiros positivos a e b, representada pelo símbolo # e definida por: a#b = 2a + b Considere, agora, o conjunto M dos números inteiros x tais que x # 3 seja múltiplo de 5. É correto afirmar que, dos números a seguir, o único que pertence ao conjunto M é
- A)2.
2 não serve, pois 2#3 = 2·2 + 3 = 7, e 7 não é múltiplo de 5.
- B)5.
5 não serve, pois 5#3 = 2·5 + 3 = 13, e 13 não é múltiplo de 5.
- C)13.
13 não serve, pois 13#3 = 2·13 + 3 = 29, e 29 não é múltiplo de 5.
- D)15.
15 não serve, pois 15#3 = 2·15 + 3 = 33, e 33 não é múltiplo de 5.
- E)21.
21 serve, pois 21#3 = 2·21 + 3 = 45, e 45 é múltiplo de 5.
Gabarito: E
A questão mistura uma operação nova com aritmética modular, que é só um jeito elegante de trabalhar com restos. Se a operação é definida por a#b = 2a + b, então, para descobrir quando x#3 é múltiplo de 5, basta substituir: x#3 = 2x + 3. Agora vem a parte esperta: queremos que 2x + 3 seja divisível por 5, ou seja, que deixe resto 0 na divisão por 5. Em linguagem de congruência, isso significa 2x + 3 ≡ 0 (mod 5), então 2x ≡ 2 (mod 5). Como 2 tem inverso módulo 5, podemos concluir que x ≡ 1 (mod 5). Em outras palavras, x precisa ser da forma 5k + 1. Entre as alternativas dadas, só 21 tem essa forma, pois 21 = 5·4 + 1. Então o único número do conjunto M é 21, que corresponde à alternativa E. É um caso clássico da FGV: ela inventa uma operação para ver se você enxerga a conta escondida por trás da notação.