No triângulo ABC, AB = AC = 3 e BC = 2. O seno do ângulo B é igual a:
- A)1/3 ;
Errada, porque 1/3 é o valor do cosseno do ângulo B, não do seno.
- B)√2/2 ;
Errada, pois √2/2 não corresponde aos valores obtidos pela lei dos cossenos neste triângulo.
- C)2√2/3 ;
Certa, já que a lei dos cossenos dá cos(B) = 1/3 e, então, sen(B) = 2√2/3.
- D)2√3/3 ;
Errada, porque 2√3/3 é maior que 1 e não pode ser seno de um ângulo.
- E)√3/2 .
Errada, pois √3/2 é um valor clássico de ângulo de 60°, mas não é o caso desta configuração.
Gabarito: C
Quando um triângulo tem dois lados iguais, como aqui em que AB = AC = 3, ele é isósceles. Isso já ajuda bastante, porque os ângulos da base ficam iguais e a conta fica mais elegante do que parece à primeira vista. Em questões da FGV, o segredo costuma ser montar a relação certa sem medo de usar lei dos cossenos. Como o ângulo pedido é o ângulo B, vale olhar para o lado oposto a ele, que é AC = 3. Pela lei dos cossenos: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2·AB·BC·cos(B). Substituindo os valores, fica 9 = 9 + 4 - 12cos(B), então cos(B) = 1/3. Agora vem o truque final: se você já sabe o cosseno, o seno sai pela identidade trigonométrica sen^2(B) + cos^2(B) = 1. Então sen(B) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = 2√2/3. Repare que o seno tem que sair positivo, porque estamos falando de ângulo interno de triângulo. Logo, o gabarito correto é a alternativa C. A banca gosta muito desse caminho: identificar o triângulo isósceles, aplicar a lei dos cossenos e fechar com a relação fundamental da trigonometria.