Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto no vértice A, a mediana AM relativa à hipotenusa mede 3cm e o ângulo ABC mede 75º . A área do triângulo ABC, em centímetros quadrados, é:
- A)9/2 .
Correta, porque a mediana à hipotenusa vale metade da hipotenusa, e a área resulta em 9/2 cm².
- B)9√3 /2 .
Errada, pois esse valor não corresponde à área obtida ao aplicar a propriedade da mediana e a relação trigonométrica.
- C)9√3 /4 .
Errada, pois há um fator numérico a mais em relação ao valor correto da área.
- D)4√3 .
Errada, porque a área não depende só do ângulo de 75°; ao calcular os catetos, o resultado não é esse.
- E)6.
Errada, porque subestima a área do triângulo após usar a hipotenusa de 6 cm.
Gabarito: A
Em triângulo retângulo, existe uma propriedade clássica que cai muito em prova: a mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. Ou seja, se AM = 3 cm, então a hipotenusa BC mede 6 cm. Isso já é metade do caminho, literalmente. Como o ângulo em A é reto e o ângulo B mede 75°, o ângulo C mede 15°. Com a hipotenusa conhecida, você pode pensar nos catetos usando seno e cosseno: AB = 6 cos 75° e AC = 6 sen 75°. A área do triângulo fica: A = (AB \cdot AC)/2 = (6 cos 75°)(6 sen 75°)/2 = 18 sen 75° cos 75°. Agora entra a identidade sen x cos x = (1/2)sen(2x). Então sen 75° cos 75° = (1/2)sen 150° = (1/2)(1/2) = 1/4. Logo, a área é 18 \cdot 1/4 = 9/2 cm². Portanto, o gabarito A está correto. Em geometria, às vezes a mediana parece enfeite, mas aqui ela entrega a hipotenusa de bandeja.