Um pote contém entre 150 e 200 balas. Miguel reparou que separando essas balas em grupos de 5 sobravam 2 balas, e que, separando em grupos de 7, sobravam também 2 balas. Se Miguel separasse as balas em grupos de 9 balas, sobrariam
- A)0.
Errada, porque o número procurado não é múltiplo de 9; ao dividir 177 por 9, o resto não é zero.
- B)2.
Errada, porque o resto 2 vale para as divisões por 5 e por 7, mas não para a divisão por 9.
- C)4.
Errada, porque 177 não deixa resto 4 ao ser dividido por 9.
- D)6.
Certa, pois o número compatível com os dados é 177 e 177 dividido por 9 deixa resto 6.
- E)8.
Errada, porque o resto da divisão por 9 não é 8 para o número que satisfaz as condições do enunciado.
Gabarito: D
Quando um número deixa o mesmo resto em divisões diferentes, o caminho mais rápido é transformar isso em congruência: aqui, as balas deixam resto 2 ao dividir por 5 e também resto 2 ao dividir por 7. Então o total é da forma 2 + múltiplo de 35, porque 35 é o MMC de 5 e 7. Agora é só olhar o intervalo entre 150 e 200. O único número nesse intervalo que é 2 a mais que um múltiplo de 35 é 177. E aí vem a última divisão: 177 dividido por 9 dá 19 e sobra 6. Portanto, se Miguel separasse em grupos de 9, sobrariam 6 balas. Esse tipo de questão é clássico de aritmética modular: achar um número por restos conhecidos e depois testar outro divisor. Parece mágica, mas é só organização dos restos.