Uma sequência de números inteiros é tal que cada termo, a partir do terceiro, é a soma do seu termo antecessor com o dobro do antecessor do antecessor. Sabe-se que o sexto termo dessa sequência é 85 e, o oitavo, é 341. O quarto termo da referida sequência é
- A)15.
Errada, porque 15 nao satisfaz o sistema formado pelos termos sexto e oitavo da sequencia.
- B)17.
Errada, porque 17 nao atende simultaneamente as duas relacoes obtidas pela regra de recorrencia.
- C)19.
Errada, porque 19 fica abaixo do valor que a equacao do sexto termo exige.
- D)21.
Certa, pois ao resolver o sistema gerado pela recorrencia, o quarto termo resulta em 21.
- E)23.
Errada, porque 23 ultrapassa o valor compatível com as equacoes montadas a partir do sexto e do oitavo termos.
Gabarito: D
Aqui a sequência segue uma regra de recorrência: a partir do terceiro termo, cada termo é igual ao anterior somado com o dobro do antecessor do antecessor. Em linguagem de prova, isso vira uma relação do tipo a(n) = a(n-1) + 2a(n-2). Ou seja: se você conhece dois termos seguidos, consegue montar os próximos sem mistério. A sacada é montar o sistema com os termos dados. Seja o quarto termo igual a x e o terceiro igual a y. Então o quinto termo será x + 2y, e o sexto termo será (x + 2y) + 2x = 3x + 2y. Como o sexto termo vale 85, temos 3x + 2y = 85. Seguindo a mesma regra, o sétimo termo é 85 + 2(x + 2y), e o oitavo termo fica 341. Fazendo a conta, isso leva à equação 2x + 4y = 86, ou simplificando, x + 2y = 43. Agora é só resolver o sistema: 3x + 2y = 85 e x + 2y = 43. Subtraindo uma da outra, vem 2x = 42, então x = 21. Logo, o quarto termo é 21, que corresponde à alternativa D. A banca costuma gostar desse tipo de questão porque testa recorrência com álgebra básica, sem fórmula pronta nem sofrimento desnecessário.