Uma das raízes do polinômio P(x) = x 3 + 2x 2 − 5x + m é 2. O produto das outras duas raízes desse polinômio é:
- A)3;
Correta, pois usando a raiz 2 obtemos m = -6 e o produto das outras duas raízes fica 6/2 = 3.
- B)−3;
Errada, porque -3 surgiria de um erro de sinal ao aplicar o produto das raízes ou ao isolar m.
- C)6;
Errada, pois 6 é o produto das três raízes, não apenas das duas restantes.
- D)−6;
Errada, já que -6 é o valor de m, e não o produto das outras duas raízes.
- E)−4.
Errada, porque -4 é a soma das outras duas raízes, não o produto.
Gabarito: A
Quando uma raiz de um polinômio é conhecida, o truque mais rápido costuma ser usar as relações de Viète. Para um cúbico do tipo x^3 + ax^2 + bx + c, a soma das raízes é -a e o produto das três raízes é -c. Aqui, como 2 é raiz de P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + m, basta substituir x = 2 no polinômio para descobrir m: 8 + 8 - 10 + m = 0, então m = -6. Agora vem a parte elegante: o produto das três raízes é -m, logo vale 6. Como uma das raízes é 2, o produto das outras duas deve ser 6/2 = 3. Simples, limpo e sem sofrimento desnecessário. Se você quiser conferir pela soma também: a soma das raízes é -2. Como uma delas é 2, as outras duas somam -4. Isso ajuda a checar se o resultado faz sentido, mas o que resolve a pergunta é mesmo o produto total dividido pela raiz já conhecida. Então o gabarito A está correto porque o produto das outras duas raízes é 3. É uma aplicação direta das relações de Viète, muito cobradas em prova quando a banca quer testar rapidez e organização.