Em um retângulo, a base é o triplo da altura e x é o menor ângulo formado por suas diagonais. O valor de sen(x) + cos(x) é: Obs: É dada a fórmula sen(2θ) = 2 ∙ sen(θ) ∙ cos(θ)
- A)1,2;
Errada, porque a soma sen(x) + cos(x) não chega a 1,2 nesse retângulo de proporção 3:1.
- B)1,4;
Certa, pois sen(x)=3/5 e cos(x)=4/5, então a soma é 7/5, isto é, 1,4.
- C)1,5;
Errada, porque esse valor superestima a soma correta dos valores trigonométricos do ângulo.
- D)1,6;
Errada, pois o resultado exato é 1,4, e não 1,6.
- E)1,8.
Errada, porque 1,8 é maior do que a soma possível de sen(x) e cos(x) para esse ângulo.
Gabarito: B
Quando o retângulo tem base tripla da altura, vale a pena pensar em lados simples, como 3 e 1, para enxergar a geometria sem sofrimento. As diagonais ficam com direções simétricas: uma sobe e a outra desce, então o menor ângulo entre elas é o ângulo agudo formado no cruzamento central. Se você monta os vetores das diagonais como (3, 1) e (3, -1), fica fácil usar produto escalar e determinante. O produto escalar dá o cosseno do ângulo: (3,1) · (3,-1) = 9 - 1 = 8, e o módulo de cada diagonal é sqrt(10), então cos(x) = 8/10 = 4/5. Para o seno, a conta vem pela área do paralelogramo formado pelos vetores, ou pela própria relação trigonométrica: |det| = 3·1 - 1·3? Em valor absoluto, dá 6, e dividindo por 10 resulta em sen(x) = 3/5. Assim, sen(x) + cos(x) = 3/5 + 4/5 = 7/5 = 1,4. Logo, a alternativa correta é a B. A fórmula dada no enunciado pode até ajudar em outras abordagens, mas aqui a forma mais rápida é notar a razão 3:1 e trabalhar com seno e cosseno do ângulo entre as diagonais.