Considere um triângulo ABC. Seja M o ponto médio do lado AC. Sejam P e Q os pontos que dividem o lado BC em três partes iguais, sendo P mais próximo de B do que de C. A área do triângulo PQM é 4. A área do quadrilátero ABPM é
- A)24.
Errada, porque 24 é a área total do triângulo ABC, não do quadrilátero ABPM.
- B)20.
Errada, pois 20 não corresponde à diferença correta entre a área total e a parte destacada no canto direito.
- C)16.
Certa, porque a área de ABPM é 16, obtida por 24 menos 8.
- D)12.
Errada, 12 não bate com a decomposição por áreas proporcionais do desenho.
- E)8.
Errada, 8 é a área do triângulo PCM, não do quadrilátero pedido.
Gabarito: C
A ideia aqui é usar uma geometria bem esperta de áreas, sem precisar desenhar mil linhas nem sofrer à toa. Como P e Q dividem BC em três partes iguais, o segmento PQ tem comprimento igual a um terço de BC. E como M é ponto médio de AC, ele fica na metade da altura do triângulo em relação à base BC. Isso já permite comparar áreas por base e altura, que é o pão com manteiga da Geometria Plana. Se a área do triângulo PQM é 4, note que a base PQ vale 1/3 de BC e a altura de M até BC vale metade da altura de A até BC. Então a área de PQM é 1/3 de 1/2 da área de ABC, isto é, 1/6 da área total. Logo, a área de ABC é 24. Agora vem o golpe final: o quadrilátero ABPM é justamente a parte do triângulo ABC que sobra quando retiramos o triângulo PCM. Como PC mede 2/3 de BC e a altura de M continua sendo metade da altura de A, a área de PCM é 1/3 da área de ABC, ou seja, 8. Então ABPM = 24 - 8 = 16. Portanto, a alternativa correta é a C. A banca gosta bastante desse tipo de questão em que você transforma uma figura em proporções simples de base e altura, sem precisar de trigonometria nem fórmula decorada de área de polígonos.