Dois lados de um triângulo medem 6 e 12. A medida da altura relativa ao terceiro lado é a média aritmética das medidas das alturas relativas aos lados dados. A medida do terceiro lado é
- A)12.
Errada, porque 12 não satisfaz a relação entre área e alturas impostas pelo enunciado.
- B)11.
Errada, pois 11 não faz a altura do terceiro lado coincidir com a média das outras duas.
- C)10.
Errada, já que 10 ainda produz uma altura incompatível com a condição dada.
- D)9.
Errada, porque 9 está perto, mas não fecha a igualdade exigida entre as alturas.
- E)8.
Certa, pois usando A = base x altura / 2 e a condição de média das alturas, chega-se a x = 8.
Gabarito: E
Em triângulo, a área pode ser escrita de três jeitos diferentes: A = base x altura / 2. Isso significa que, se a área é a mesma, a altura de cada lado depende do tamanho da base. Quanto maior a base, menor a altura correspondente, e vice-versa. Aqui, o truque é usar isso sem drama: os dois lados dados são 6 e 12, então suas alturas são proporcionais a 1/6 e 1/12. Seja A a área do triângulo. A altura relativa ao lado 6 é 2A/6 = A/3, e a altura relativa ao lado 12 é 2A/12 = A/6. Como a altura relativa ao terceiro lado é a média aritmética dessas duas, temos (A/3 + A/6)/2 = A/4. Agora vem a parte elegante: essa mesma altura também vale 2A/x, sendo x o terceiro lado. Então 2A/x = A/4. Cortando A dos dois lados, sobra 2/x = 1/4, logo x = 8. Portanto, o terceiro lado mede 8. É um daqueles exercícios em que a área manda em tudo e faz a conta ficar quase automática.