Em certo videogame o jogador faz diversos ataques ao exército inimigo. De acordo com sua atuação, cada ataque pode valer 3 pontos, 2 pontos ou 1 ponto. Em certo momento do jogo, Renato fez 6 ataques, totalizando 11 pontos. Considere as afirmativas: I – Renato fez, no máximo, 2 ataques de 3 pontos. II – Renato fez, no mínimo, 1 ataque de 1 ponto. III – Renato fez, no máximo, 4 ataques de 2 pontos. Então,
- A)apenas a afirmativa I está correta.
Esta alternativa afirma que, entre as três conclusões, só a I se sustenta. De fato, se você chama de x, y e z os ataques de 3, 2 e 1 ponto, então x+y+z=6 e 3x+2y+z=11, o que leva a 2x+y=5; daí x não pode passar de 2, então a I é verdadeira. O problema é que a II também se confirma, pois em todas as soluções possíveis aparece pelo menos um ataque de 1 ponto, então não é caso de “apenas I”.
- B)apenas a afirmativa II está correta.
Aqui se sustenta que somente a II está correta, isto é, que Renato fez necessariamente ao menos um ataque de 1 ponto. Isso procede, porque as equações do enunciado implicam z=6-x-y e, combinando com 2x+y=5, resulta z=1+x, logo z é sempre pelo menos 1. Mas a I também é verdadeira, já que x fica limitado a no máximo 2, então a alternativa erra ao excluir essa conclusão.
- C)apenas a afirmativa III está correta.
Esta opção diz que só a III estaria correta, ou seja, que Renato teria feito no máximo 4 ataques de 2 pontos. Esse limite não se mantém, porque existe distribuição compatível com o enunciado em que ele faz 5 ataques de 2 pontos, por exemplo 0 de 3 pontos, 5 de 2 pontos e 1 de 1 ponto. Como a III falha nesse caso, e ainda por cima I e II são verdadeiras, a alternativa não se sustenta.
- D)apenas as afirmativas II e III estão corretas.
A alternativa afirma que apenas as conclusões II e III são válidas. A II realmente procede, pois o sistema obriga a existência de pelo menos um ataque de 1 ponto, mas a III não procede: é possível ter 5 ataques de 2 pontos sem violar o total de 6 ataques e 11 pontos. Além disso, a I também é verdadeira, então a resposta erra tanto por incluir a III quanto por deixar de fora a I.
- E)apenas as afirmativas I e II estão corretas.
Esta é a alternativa correta, porque a análise do sistema mostra que as conclusões I e II são necessariamente verdadeiras, enquanto a III não é. Das equações x+y+z=6 e 3x+2y+z=11, obtemos 2x+y=5; como y não pode ser negativo, x fica no máximo em 2, e isso prova a I, e também resulta em z=1+x, garantindo ao menos um ataque de 1 ponto, o que confirma a II. Já a III falha, pois y pode ser 5 em uma distribuição válida, então não existe limite de 4 ataques de 2 pontos.
Gabarito: E
Quando a questão mistura quantidades de pontos e número de ataques, o truque é transformar tudo em um sistema simples. Aqui, chame de x os ataques de 3 pontos, y os de 2 pontos e z os de 1 ponto. Então você monta: x + y + z = 6 e 3x + 2y + z = 11. Subtraindo uma equação da outra, sobra 2x + y = 5, que já limita bastante as possibilidades. Agora é só testar as soluções inteiras possíveis. Se x = 0, então y = 5 e z = 1. Se x = 1, então y = 3 e z = 2. Se x = 2, então y = 1 e z = 3. Perceba que não existe x = 3, porque daria 2x + y maior que 5. Portanto, Renato fez no máximo 2 ataques de 3 pontos, então a afirmativa I está correta. Na afirmativa II, todas as combinações possíveis têm z pelo menos 1. Ou seja, sempre existe ao menos um ataque de 1 ponto. Logo, a afirmativa II também está correta. Já a III cai porque y pode ser 5, 3 ou 1, então o número de ataques de 2 pontos pode chegar a 5, e não ficar limitado a 4. Assim, a alternativa correta é a que marca apenas I e II. A ideia central aqui é clássica de Álgebra em concurso: traduzir o enunciado em equações e usar a restrição de inteiros para eliminar hipóteses improváveis.