Artur, Breno, Caio e Diogo fizeram uma fila nessa ordem para uma fotografia. Em seguida, o fotógrafo pediu que fizessem uma fila diferente para outra fotografia, de forma que apenas uma das quatro pessoas ficasse no seu lugar original. Indique o número de maneiras diferentes que a nova fila pode ser feita.
- A)2.
Errada, porque 2 conta apenas os desarranjos de 3 pessoas, sem multiplicar pela escolha de quem fica no lugar original.
- B)4.
Errada, porque ainda subestima o número de possibilidades e não considera todas as escolhas da pessoa que permanece na mesma posição.
- C)6.
Errada, pois 6 não corresponde ao total de arranjos com exatamente um ponto fixo nesta situação.
- D)8.
Certa, porque há 4 escolhas para a pessoa que fica na posição original e 2 formas de organizar as outras 3 sem novos pontos fixos, totalizando 8.
- E)10.
Errada, porque 10 excede a contagem correta e normalmente surge de uma contagem sem controle das restrições.
Gabarito: D
Aqui a ideia é de permutação com restrição. Você começa com a fila original e quer montar outra fila em que exatamente uma pessoa permaneça no mesmo lugar. Em problemas assim, costuma ser útil separar em duas etapas: primeiro escolher quem vai ficar parado, depois organizar os demais sem deixar ninguém mais no lugar original. Como são 4 pessoas, há 4 escolhas para a pessoa que vai continuar na mesma posição. Depois disso, sobram 3 pessoas e elas precisam trocar de lugar de modo que nenhuma fique onde estava. Isso é um caso de desarranjo, e para 3 elementos o número de arranjos sem ponto fixo é 2. Então o total fica 4 x 2 = 8 maneiras. É exatamente por isso que o gabarito é a letra D. A conta é curta, mas a pegadinha é clássica: muita gente escolhe a pessoa fixa, mas esquece de impedir que outra também permaneça no lugar original. Em linguagem de contagem, a resposta vem da combinação entre escolha do ponto fixo e desarranjo dos restantes. Não há fórmula jurídica nem jurisprudência aqui, claro, só o velho e bom raciocínio combinatório que a FGV adora testar com cara de fila de foto.