Eduardo deseja escrever as 4 letras da palavra RATO de modo que a letra A esteja à esquerda da letra O. Por exemplo, uma das maneiras de escrevê-las respeitando a restrição dada é ARTO. O número de maneiras distintas que Eduardo tem para satisfazer o seu desejo é:
- A)24.
Errada, porque 24 é o total de permutações sem impor a condição de A ficar à esquerda de O.
- B)18.
Errada, pois 18 não decorre da divisão simétrica entre as duas ordens possíveis de A e O.
- C)16.
Errada, porque 16 não corresponde à contagem de metade das 24 permutações.
- D)12.
Certa, pois metade das 24 permutações de RATO coloca A à esquerda de O, resultando em 12.
- E)8.
Errada, porque 8 seria apenas um subconjunto menor do que o obtido pela divisão por simetria.
Gabarito: D
Aqui a ideia é de contagem com restrição, um clássico de análise combinatória. As letras da palavra RATO são todas diferentes, então o total de formas de escrever essas 4 letras é 4! = 24. Até aqui, vida simples e feliz. Agora entra a condição: a letra A deve ficar à esquerda da letra O. Em qualquer arranjo das duas letras A e O, só existem duas possibilidades relativas: A antes de O ou O antes de A. Como não há motivo para uma dessas situações aparecer mais do que a outra, exatamente metade das permutações serve. Então fazemos 24 ÷ 2 = 12. É isso que justifica o gabarito D. Dá até para pensar assim: para cada arranjo válido, existe um arranjo espelhado trocando A e O que não vale, e os dois aparecem em pares. Portanto, o número de maneiras distintas é 12. Em questões da FGV, esse tipo de raciocínio por simetria costuma ser o caminho mais rápido quando a condição envolve apenas a ordem relativa entre duas letras.