Dado um triângulo equilátero ABC, prolonga-se o lado AB, no sentido de A para B, até um ponto D, tal que a medida de BD seja igual à medida do lado do triângulo ABC. A razão entre a área do triângulo ACD e a área do triângulo BCD é
- A)4.
Errada: 4 não aparece na razão entre as bases dos triângulos, que é o que manda aqui.
- B)3.
Errada: 3 seria possível em outro arranjo, mas não neste, porque AD vale apenas o dobro de BD.
- C)2.
Certa: os triângulos têm a mesma altura e as bases estão na razão 2:1, então as áreas também ficam na razão 2:1.
- D)√3
Errada: √3 é um valor que costuma surgir em triângulo equilátero, mas aqui a conta é de proporcionalidade de áreas, não de trigonometria.
- E)√2
Errada: √2 não tem relação com a razão de bases obtida no desenho.
Gabarito: C
A ideia aqui é enxergar os dois triângulos com a mesma altura em relação à reta AB prolongada. Como D está no prolongamento de AB, os triângulos ACD e BCD têm a mesma altura traçada a partir de C até a reta AB. Quando a altura é a mesma, a razão entre as áreas fica igual à razão entre as bases. No caso, as bases são AD e BD. Agora vem o truque elegante: no triângulo equilátero ABC, temos AB = BC = CA. Como o enunciado diz que BD tem a mesma medida do lado do triângulo, então BD = AB. Como D está no sentido de A para B prolongado, o segmento AD vale AB + BD = AB + AB = 2AB. Então a razão entre as áreas é AD/BD = 2AB/AB = 2. Por isso, o gabarito é a alternativa C. Sem sofrimento, só proporcionalidade e um pouquinho de leitura atenta.