Seja p um número primo e suponha que para algum número natural n, √n + p + √n seja um número natural. O que podemos concluir?
- A)Não existe o primo p
Errada, porque existe sim primo p que satisfaz a condição, por exemplo qualquer primo com n = 1.
- B)Há somente um primo p
Errada, pois não há apenas um primo possível; a condição não fixa p em um valor único.
- C)Há uma quantidade maior ou igual a 1 de primos, porém, uma quantidade finita de primos p.
Errada, porque não há quantidade finita de primos que sirvam; a condição vale para infinitos primos.
- D)Há infinitos primos p.
Certa, já que para qualquer primo p podemos escolher um n quadrado perfeito e a expressão continua natural.
- E)Nenhuma das alternativas acima
Errada, porque a situação descrita leva justamente à existência de infinitos primos p.
Gabarito: D
A ideia aqui é bem simples: a expressão dada é √n + p + √n, ou seja, p + 2√n. Como o enunciado diz que isso é um número natural, basta escolher n de modo que √n também seja natural. E isso acontece quando n é um quadrado perfeito, como 1, 4, 9, 16 e por aí vai. Perceba o pulo do gato: o primo p não fica preso a um valor específico. Se você pegar qualquer primo p e escolher, por exemplo, n = 1, então √n = 1 e a expressão vira p + 2, que é natural. Então não existe restrição que limite a quantidade de primos possíveis. Logo, existem infinitos valores possíveis para p, porque existem infinitos números primos. A conclusão correta é a alternativa D. Se quiser guardar a lógica: quando o enunciado diz que "para algum n" a expressão é natural, ele está falando de existência, não de exclusividade. Em concursos, esse detalhe costuma abrir a porta para a resposta com infinitude.