No plano complexo de Argand-Gauss, dados z0 = 1 + 2i e R = 4 cm, qual é a área, em cm2 , da interseção do conjunto dos pontos z tais que |z − z0 | ≤ R e o conjunto dos z tais que |z − z0 | ≥ 2?
- A)2 π.
Errada, porque 2pi seria a diferença de áreas de raios que nao correspondem aos valores dados no enunciado.
- B)4 π.
Errada, porque 4pi é apenas a area de um disco de raio 2, e aqui a regiao é uma coroa circular.
- C)12 π.
Certa, pois a interseção forma um anel entre os raios 2 e 4, com area 16pi - 4pi = 12pi.
- D)20 π.
Errada, porque 20pi nao resulta da diferença entre as areas dos dois discos descritos pelas desigualdades.
Gabarito: C
No plano complexo de Argand-Gauss, a expressão |z - z0| representa a distancia entre o ponto z e o ponto z0. Então, quando voce lê |z - z0| = 2 descreve todos os pontos que ficam fora, ou sobre, a circunferencia de raio 2 com o mesmo centro. A interseção dos dois conjuntos pega exatamente os pontos que estao dentro do disco de raio 4, mas tambem nao podem estar mais perto de z0 do que 2 unidades. Em outras palavras, sobra uma coroa circular, o famoso anel. Nada de mistério, a geometria aqui faz o trabalho pesado. A area dessa regiao é a area do disco maior menos a area do disco menor: pi·4^2 - pi·2^2 = 16pi - 4pi = 12pi. Por isso, o gabarito é a alternativa C. Esse tipo de leitura de modulo em numeros complexos é bem padrão: modulo mede distancia no plano, e desigualdade vira região geométrica. Em prova, a banca costuma apostar nessa tradução de linguagem algébrica para figura plana.