Em determinado processo de modelagem matemática está sendo analisado um padrão geométrico composto por uma infinidade de cubos, de lados medindo 1 , 1/√3 , 1/√32 , 1/√33 , ... , em centímetros. Esses cubos são organizados de tal forma que, à medida em que o processo avança, novos cubos são adicionados nessa sequência infinita, mantendo o mesmo padrão. Com base nessa configuração, é correto afirmar que a soma das diagonais de todos esses cubos, em cm, é igual a:
- A)√3 / 3
Errada, porque √3/3 não corresponde à soma da série das diagonais desse conjunto de cubos.
- B)√3 / √3 - 1
Errada, pois a expressão não resulta da soma correta da progressão geométrica formada pelas diagonais.
- C)√3 - 1 / 3
Errada, já que a montagem algébrica não bate com a soma infinita dos termos do problema.
- D)3 / √3 - 1
Certa, porque as diagonais formam uma PG infinita com primeiro termo √3 e razão 1/√3, cuja soma é 3/(√3 - 1).
Gabarito: D
Quando a questão fala em cubos com lados 1, 1/√3, 1/√3², 1/√3³, ... ela está mostrando uma progressão geométrica. Aqui, o lado de cada cubo vai sendo reduzido por um fator de 1/√3 a cada etapa, então o padrão é bem certinho: tem razão constante e série infinita. Agora vem a parte mais elegante: a diagonal espacial de um cubo de aresta a é d = a√3. Então, para cada cubo dessa sequência, as diagonais ficam 1·√3 = √3, depois (1/√3)·√3 = 1, depois 1/√3, depois 1/3, e assim por diante. Ou seja, as diagonais também formam uma PG infinita. A primeira diagonal é √3 e a razão é 1/√3. Como a soma de uma PG infinita é S = a1 / (1 - q), temos S = √3 / (1 - 1/√3). Fazendo a conta, isso simplifica para 3/(√3 - 1). É exatamente o que aparece na alternativa D. A ideia central aqui é não se perder na sequência dos lados e esquecer que o enunciado pede a soma das diagonais. A banca gosta desse tipo de troca de foco: você calcula primeiro o que parece mais óbvio e depois aplica a fórmula da soma infinita sem drama.