Em uma competição de natação organizada por determinada cidade, participaram 10 nadadores – 4 pertencem à equipe A e 6 à equipe B. Após a competição, os 4 melhores nadadores receberão as medalhas de ouro (para o 1º lugar), prata (para o 2º lugar), bronze (para o 3º lugar) e uma medalha de honra ao mérito (para o 4º lugar). Sabendo que as classificações são definidas de acordo com a ordem das melhores pontuações e que não há chances de haver empates, quais são as possibilidades distintas de que pelo menos um dos nadadores da equipe A seja premiado com uma das medalhas?
- A)3.864.
Errada: 3864 nao corresponde nem ao total de arranjos dos 4 premiados nem ao complemento da situacao sem atletas da equipe A.
- B)4.032.
Errada: 4032 e um valor plausivel, mas nao resulta da contagem correta por ordem nem da subtracao do caso complementar.
- C)4.680.
Certa: 4680 e o resultado de 10P4 menos 6P4, isto e, todas as possibilidades menos as em que nenhum nadador da equipe A recebe medalha.
- D)5.040.
Errada: 5040 conta todas as classificacoes possiveis sem restricao, mas a questao pede apenas as que incluem pelo menos um atleta da equipe A.
Gabarito: C
Aqui o ponto principal é combinatoria com ordem. Como ouro, prata, bronze e honra ao mérito sao postos diferentes, a posicao de cada nadador importa. Entao, nao basta escolher 4 atletas: voce precisa montar uma sequencia de 4 colocacoes, o que leva a arranjos simples, ou permutacoes sem repeticao: 10P4 = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 possibilidades totais. Mas a questao pede "pelo menos um" nadador da equipe A entre os premiados. Em vez de contar caso por caso, o jeito mais esperto e usar o complemento: contamos primeiro o unico caso indesejado, que e nenhum nadador da equipe A ser premiado, ou seja, os 4 premiados virem todos da equipe B. Como a equipe B tem 6 nadadores, o numero de formas de escolher os 4 premiados com ordem e 6P4 = 6 x 5 x 4 x 3 = 360. Entao, o total procurado e 5040 - 360 = 4680. Por isso o gabarito e a alternativa C. A ideia de complemento costuma economizar tempo e evitar contagem excessiva, principalmente quando o enunciado pede "pelo menos um", "ao menos um" ou "nenhum".