Por meio da abordagem de pessoas em uma estação de ônibus, determinado instituto jurídico está conduzindo uma pesquisa sobre a percepção pública a respeito de uma nova lei. Considere que a cada n pessoas abordadas, a quantidade daquelas que concordam em participar da pesquisa é uma variável aleatória com distribuição Binomial (n, p), em que p é a probabilidade de sucesso. Sabe-se que o valor esperado dessa variável aleatória é 12 e a variância é 2,4. Considerando essa distribuição, qual é a divisão entre a probabilidade de sucesso e a probabilidade de fracasso, respectivamente?
- A)2.
Errada, porque a razão p/q não é 2 neste caso; ao usar a média e a variância da binomial, chega-se a p=0,8 e q=0,2.
- B)3.
Errada, pois a relação entre probabilidade de sucesso e de fracasso não é 3 após aplicar as fórmulas de esperança e variância.
- C)4.
Certa, já que np=12 e np(1-p)=2,4 levam a p=0,8 e q=0,2, então p/q=4.
- D)5.
Errada, pois 5 não corresponde à divisão entre sucesso e fracasso encontrada pelos dados da distribuição binomial.
- E)6.
Errada, porque a razão pedida não é 6; a aplicação correta das fórmulas da binomial resulta em 4.
Gabarito: C
Em uma variável binomial, duas fórmulas mandam no jogo: o valor esperado é np e a variância é np(1-p). Aqui, o enunciado já entrega os dois dados: E(X)=12 e Var(X)=2,4. Então você monta o sistema sem drama: np = 12 e np(1-p) = 2,4. Substituindo np por 12 na fórmula da variância, fica 12(1-p)=2,4. Daí, 1-p=0,2, logo p=0,8. Como a probabilidade de fracasso é q=1-p=0,2, a divisão pedida é p/q = 0,8/0,2 = 4. Esse tipo de questão é clássico de Estatística em concurso: a banca costuma testar se você lembra que, na binomial, a variância não é apenas np, mas sim npq, com q=1-p. Se esquecer isso, a conta desanda rapidinho. Portanto, a alternativa correta é a letra C, porque a razão entre sucesso e fracasso é 4.