Para a implementação de um novo sistema nos computadores da Câmara Municipal de Mariana, foi necessário que o técnico de informática realizasse a instalação do programa em todas as máquinas da instituição. Sabendo que a Câmara contava com um total de 252 computadores, ele instalou o programa em cinco máquinas no primeiro dia e, a partir do segundo dia, instalou em duas máquinas a mais que o dia anterior. Observando a estratégia utilizada pelo técnico de informática, quantos dias serão necessários para que ele realize completamente o serviço?
- A)12.
12 dias não completam a soma de 252 instalações nessa progressão aritmética.
- B)14.
14 dias é o valor que satisfaz a soma total da PA e completa os 252 computadores.
- C)15.
15 dias ultrapassa o total necessário e não corresponde ao fechamento exato da soma.
- D)18.
18 dias gera uma quantidade bem maior do que 252, então está incorreto.
Gabarito: B
Aqui a ideia é enxergar uma progressão aritmética (PA): no primeiro dia foram 5 computadores, e a cada novo dia o técnico instala 2 a mais do que no dia anterior. Então as quantidades por dia formam 5, 7, 9, 11, ... até somarem 252. Em PA, a soma dos termos é dada por S_n = (n/2)·(a_1 + a_n), ou também pela fórmula da soma com a razão. O truque é descobrir quantos dias são necessários para que a soma alcance 252. Se chamarmos de n o número de dias, o último dia terá a_n = 5 + (n - 1)·2 = 2n + 3. Substituindo na soma: 252 = (n/2)·(5 + 2n + 3) = (n/2)·(2n + 8) = n(n + 4). Então precisamos resolver n(n + 4) = 252. Testando a conta, n = 14 dá 14·18 = 252. Perfeito. Isso significa que em 14 dias ele conclui a instalação em todos os 252 computadores. Ou seja: a banca quer que você reconheça a PA, monte a soma dos termos e feche a equação sem cair na pressa. Aqui o gabarito B está correto porque 14 dias é exatamente o total necessário para somar 252 instalações.